题目内容
若α，β均为锐角，且
+
=2，求证：α+β=
．
| cosα |
| sinβ |
| cosβ |
| sinα |
| π |
| 2 |
考点：三角函数恒等式的证明
专题：推理和证明
分析：利用反证法，（1）若α+β＜
，可证得
+
＞2，与题设相矛盾，舍去；α+β＞
，同理可得
+
＜2，也与题设矛盾，舍去．从而可证命题成立．
| π |
| 2 |
| cosα |
| sinβ |
| cosβ |
| sinα |
| π |
| 2 |
| cosα |
| sinβ |
| cosβ |
| sinα |
解答：
证明（反证法）：
（1）α，β均为锐角，若α+β＜
，则α＜
-β，β＜
-α，
所以sinα＜cosβ，sinβ＜cosα，所以
＞1，
＞1，
因此
+
＞2，这与题设相矛盾，舍去；
（2）若α+β＞
，同理可得
+
＜2，也与题设矛盾，舍去．
综上分析可知，α，β均为锐角，
+
=2时，α+β=
．
（1）α，β均为锐角，若α+β＜
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
所以sinα＜cosβ，sinβ＜cosα，所以
| cosα |
| sinβ |
| cosβ |
| sinα |
因此
| cosα |
| sinβ |
| cosβ |
| sinα |
（2）若α+β＞
| π |
| 2 |
| cosα |
| sinβ |
| cosβ |
| sinα |
综上分析可知，α，β均为锐角，
| cosα |
| sinβ |
| cosβ |
| sinα |
| π |
| 2 |
点评：本题考查三角函数恒等式的证明，利用反证法证明是关键，考查逻辑思维与推理证明能力，属于中档题．
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