Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，PC⊥BC，M为PB的中点，D为AB的中点，且△AMB为正三角形．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）若BC=4，PB=10，求点B到平面DCM的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（1）要证BC⊥平面PAC，只需证明BC与平面PAC内的两条相交直线PA、PC垂直，利用直线与平面垂直的判定定理证明即可；
（2）解法一：通过BC=4，PB=10，利用等体积法V_M-BCD=V_B-MCD，即可求解点B到平面DCM的距离．
解法二：过点B作直线CD的垂线，交CD的延长线于点H，证明BH⊥平面DCM．说明BH为点B到平面DCM的距离，一是利用等面积法求解，二是利用解直角三角形求解．

解答： （本小题满分14分）
（1）证明：在正△AMB中，D是AB的中点，∴MD⊥AB．…（1分）
∵M是PB的中点，D是AB的中点，∴MD∥PA，故PA⊥AB．…（2分）
又PA⊥AC，AB∩AC=A，AB，AC?平面ABC，
∴PA⊥平面ABC．…（4分）
∵BC?平面ABC，∴PA⊥BC．…（5分）
又PC⊥BC，PA∩PC=P，PA，PC?平面PAC，
∴BC⊥平面PAC．…（7分）
（2）解法1：设点B到平面DCM的距离为h，…（8分）
∵PB=10，M是PB的中点，∴MB=5．
∵△AMB为正三角形，∴AB=MB=5．…（9分）
∵BC=4，BC⊥AC，∴AC=3．
∴S△BCD=

1

2

S△ABC=

1

2

×

1

2

×BC×AC=

1

2

×

1

2

×4×3=3．…（10分）
∵MD=

52-( 5 2 )2

=

5 3

2

，
由（1）知MD∥PA，∴MD⊥DC．
在△ABC中，CD=

1

2

AB=

5

2

，
∴S△MCD=

1

2

×MD×CD=

1

2

×

5 3

2

×

5

2

=

25 3

8

．…（11分）
∵V_M-BCD=V_B-MCD，…（12分）
∴

1

3

S△BCD•MD=

1

3

S△MCD•h，
即

1

3

×3×

5 3

2

=

1

3

×

25 3

8

×h．…（13分）
∴h=

12

5

．
故点B到平面DCM的距离为

12

5

．…（14分）
解法2：过点B作直线CD的垂线，交CD的延长线于点H，…（8分）
由（1）知，PA⊥平面ABC，MD∥PA，
∴MD⊥平面ABC．
∵BH?平面ABC，∴MD⊥BH．
∵CD∩MD=D，∴BH⊥平面DCM．
∴BH为点B到平面DCM的距离．…（9分）
∵PB=10，M是PB的中点，∴MB=5．
∵△AMB为正三角形，∴AB=MB=5．…（10分）
∵D为AB的中点，∴CD=BD=

5

2

．
以下给出两种求BH的方法：
方法1：在△BCD中，过点D作BC的垂线，垂足为点E，
则DE=

1

2

AC=

3

2

．…（11分）
∵

1

2

×CD×BH=

1

2

×BC×DE，…（12分）
∴BH=

BC×DE

CD

=

4× 3 2

5 2

=

12

5

．
方法2：在Rt△BHD中，BH2+DH2=BD2=

25

4

．          ①…（11分）
在Rt△BHC中，∵BC=4，
∴BH²+CH²=BC²，
即BH2+(DH+

5

2

)2=16．                          ②…（12分）
由①，②解得BH=

12

5

．
故点B到平面DCM的距离为

12

5

．…（14分）

点评：本题考查直线与平面垂直的判断与证明，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．