Question

已知椭圆C的方程为

x2

4m2

+

y2

m2

=1（m＞0），如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，0），B（0，1），C（2，1）．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若椭圆C与△ABC无公共点，求m的取值范围；
（Ⅲ）若椭圆C与△ABC相交于不同的两点，分别为M、N，求△OMN面积S的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据椭圆方程可得，a²=4m²，b²=m²，求出c，可求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）当椭圆C在直线AB的左下方或△ABC在椭圆内时，两者便无公共点，分类讨论，即可求出m的取值范围；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知当

2

2

＜m＜

2

时，椭圆C与△ABC相交于不同的两个点M﹑N，分类讨论，表示出△OMN面积S，即可求出最大值．

解答： 解 （Ⅰ） 由已知可得，a²=4m²，b²=m²，
∴e=

c

a

=

c2 a2

=

a2-b2 a2

=

3m2 4m2

=

3

2

，
即椭圆C的离心率为

3

2

…（4分）
（Ⅱ） 由图可知当椭圆C在直线AB的左下方或△ABC在椭圆内时，两者便无公共点（5分）
①当椭圆C在直线AB的左下方时，将AB：x+2y-2=0即x=2-2y代入方程

x2

4m2

+

y2

m2

=1
整理得8y²-8y+4-4m²=0，
由△＜0即64-32（4-4m²）=0＜0，解得0＜m＜

2

2

；
∴由椭圆的几何性质可知，当0＜m＜

2

2

时，椭圆C在直线AB的左下方…（7分）
②当△ABC在椭圆内时，当且仅当点C（2，1）在椭圆内，
∴可得

4

4m2

+

1

m2

＜1，
又∵m＞0，∴m＞

2

，
综上所述，当0＜m＜

2

2

或m＞

2

时，椭圆C与△ABC无公共点…（9分）
（Ⅲ） 由（Ⅱ）知当

2

2

＜m＜

2

时，椭圆C与△ABC相交于不同的两个点M﹑N（10分）
又∵当m=1时，椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1，此时椭圆恰好过点A，B；
∴①当

2

2

＜m≤1时，M﹑N在线段AB上，显然的，此时S≤S_△OAB=1，
当且仅当M﹑N分别与A﹑B重合时等号成立，…（11分）
②当1＜m＜

2

时，点M﹑N分别在线段BC，AC上，得M(2

m2-1

，1)，N(2，

m2-1

)，
∴S=S_矩形OACB-S_△OBM-S_△OAN-S_△MNC…（12分）
=2-2

m2-1

-(1-

m2-1

)2，
令t=

m2-1

，则0＜t＜1
∴S=-t²+1＜1．
综上可得面积S的最大值为1．…（14分）

点评：本题考查椭圆的方程一性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．