Question

已知数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}是等比数列，且对任意的n∈N^*，都有a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=n•2n+3．
（1）若{b_n}的首项为4，公比为2，求数列{a_n+b_n}的前n项和S_n；
（2）若a₁=8，
   ①求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
   ②试探究：数列{b_n}中是否存在某一项，它可以表示为该数列中其它r（r∈N^*，r≥2）项的和？若存在，请求出该项；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件，先求出b_n=2ⁿ⁺¹，再由a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=n•2n+3，分别求出a₁，a₂，由此能求出数列{a_n+b_n}的前n项和S_n．
（2）①由已知条件求出a₁=8，b₁=2，设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，列出方程组求出d=4，q=2，由此能求出数列{a_n}与{b_n}的通项公式．
②由b_n=2ⁿ，能推导出数列{b_n}中不存在某一项可以表示为该数列中其它r（r∈N^*，r≥2）项的和．

解答： 解：（1）∵{b_n}是等比数列，首项为4，公比为2，
∴b_n=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∵数列{a_n}是等差数列，且对任意的n∈N^*，
都有a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=n•2n+3，
∴a₁b₁=2⁴，∴a1=

24

b1

=

24

4

=4，
a1b1+a2b2=2•25，
∴a2b2=2•25-24=48，
∴a₂=

48

b2

=

48

23

=6，
∴d=a₂-a₁=6-4=2，
∴a_n=4+（n-1）×2=2n+2．
∴S_n=（a₁+a₂+a₃+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n）
=[4n+

n(n-1)

2

×2]+

4(1-2n)

1-2

=n²+3n+2ⁿ⁺²-4．
（2）①∵a₁=8，a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=n•2n+3，
∴8b₁=2⁴，解得b₁=2，
设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
则

16+(8+d)•2q=2•25 2•25+(8+2d)•2q2=3•26

，
解得d=4，q=2，或d=-2，q=4（舍）．
∴a_n=8+（n-1）×4=4n+4，
bn=2•2n-1=2ⁿ．
②∵b_n=2ⁿ，
∴数列{b_n}中不存在某一项可以表示为该数列中其它r（r∈N^*，r≥2）项的和．
理由如下：
假设存在第λ项可以表示为该数列中其它r（r∈N^*，r≥2）项的和，
则2^λ=2^m+1+2^m+2+…+2^m+r=2^m+1（1+2+…+2^r-1），
∴2^λ-（m+1）=1+2+…+2^r-1，
∵2^λ-（m+1）是偶数，1+2+…+2^r-1是奇数，
∴2^λ-（m+1）=1+2+…+2^r-1不成立．
∴数列{b_n}中是不存在某一项，它可以表示为该数列中其它r（r∈N^*，r≥2）项的和．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，考查数列的通项公式的求法，考查数列中的某一项能否表示为其他几项和的判断，解题时要认真审题，要熟练掌握等差数列、等比数列的性质．