Question

已知f（x）=|x-1|+|x-a|，
（1）当a=-1时，f（x）≥2的解集；
（2）存在x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）当a=-1时，根据绝对值的意义，-1和1对应点1、-1对应点的距离之和正好等于2，可得f（x）≥2的解集为{x|x≤-1，或 x≥1}．
（2）f（x）表示数轴上的x对应点到1、a对应点的距离之和，它的最小值为|a-1|，由题意可得|a-1|≤2，由此求得a的范围．

解答： 解：（1）当a=-1时，f（x）≥2，即|x-1|+|x+1|≥2，
而|x-1|+|x-a|表示数轴上的x对应点到1、-1对应点的距离之和，
而-1和1对应点1、-1对应点的距离之和正好等于2，
故f（x）≥2的解集为{x|x≤-1，或 x≥1}．
（2）存在x∈R，f（x）=|x-1|+|x-a|≥2，而f（x）表示数轴上的x对应点到1、a对应点的距离之和，
它的最小值为|a-1|，故|a-1|≤2，求得-1≤a≤3．

点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，属于基础题