Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），则向量$\overrightarrow{b}$在向量$\overrightarrow{a}$方向上的投影为-$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由向量垂直，求得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-丨$\overrightarrow{a}$丨²，向量$\overrightarrow{b}$在向量$\overrightarrow{a}$方向上的投影为$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{丨\overrightarrow{a}丨}$=-丨$\overrightarrow{a}$丨，根据向量的模长公式即可求得答案．

解答 解：由$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），则$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=0，即$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-丨$\overrightarrow{a}$丨²，
向量$\overrightarrow{b}$在向量$\overrightarrow{a}$方向上的投影为$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{丨\overrightarrow{a}丨}$=-丨$\overrightarrow{a}$丨=-$\sqrt{1+{2}^{2}}$=-$\sqrt{5}$，
故答案为：-$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量投影求法，属于基础题．