题目内容
1．定义“函数y=f（x）是D上的a级类周期函数”如下：函数y=f（x），x∈D，对于给定的非零常数 a，总存在非零常数T，使得定义域D内的任意实数x都有af（x）=f（x+T）恒成立，此时T为f（x）的周期．若y=f（x）是[1，+∞）上的a级类周期函数，且T=1，当x∈[1，2）时，f（x）=2x+1，且y=f（x）是[1，+∞）上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（ ）| A． | $[{\frac{5}{6}，+∞}）$ | B． | [2，+∞） | C． | $[{\frac{5}{3}，+∞}）$ | D． | [10，+∞） |
分析 利用函数a级类周期的定义依次计算f（x）在各个区间上的解析式，归纳f（x）在[n，n+1）上的解析式，利用函数的单调性列出不等式即可得出a的范围．
解答 解：∵x∈[1，2）时，f（x）=2x+1，
∴当x∈[2，3）时，f（x）=af（x-1）=a•[2（x-1）+1]，
…
当x∈[n，n+1）时，f（x）=af（x-1）=a2f（x-2）=…=an-1f（x-n+1）=an-1•[2（x-n+1）+1]．
即x∈[n，n+1）时，f（x）=an-1•[2（x-n+1）+1]，n∈N*，
∴当x∈[n-1，n）时，f（x）=an-2•[2（x-n+1+1）+1]=an-2•[2（x-n+2）+1]，
∵f（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴an-2•5≤an-1•3恒成立，
∴a≥$\frac{5}{3}$．
故选C．
点评 本题考查了函数解析式的求解，分段函数单调性的应用，属于中档题．
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