题目内容
16．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），圆O的极坐标方程为ρ=$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$）．（Ⅰ）将直线l与圆O的方程化为直角坐标方程，并证明直线l过定点P（$\frac{1}{2}$，1）；
（Ⅱ）设直线l与圆O相交于A、B两点，求证：点P到A、B两点的距离之积为定值．
分析 （I）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得普通方程，即可证明经过定点；圆O的极坐标方程为ρ=$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$），展开可得：${ρ}^{2}=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ+ρsinθ），利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$及其ρ2=x2+y2即可得出直角坐标方程．
（II）把直线l的标准参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{2}{\sqrt{6}}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}t}\end{array}\right.$代入⊙O的方程：x2+y2=x+y，化为：${t}^{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}$t-$\frac{1}{4}$=0，可得t1t2=-$\frac{1}{4}$．利用|PA||PB|=|t1t2|即可得出．
解答 （I）解：直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得：$x-\frac{1}{2}$=$\sqrt{2}$（y-1），可知直线l过定点P（$\frac{1}{2}$，1），化为一般式：$2x-2\sqrt{2}y$+2$\sqrt{2}$-1=0；
圆O的极坐标方程为ρ=$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$），展开可得：${ρ}^{2}=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ+ρsinθ），化为：x2+y2=x+y．
（II）证明：把直线l的标准参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{2}{\sqrt{6}}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}t}\end{array}\right.$代入⊙O的方程：x2+y2=x+y，化为：${t}^{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}$t-$\frac{1}{4}$=0，
∴t1t2=-$\frac{1}{4}$．
∴|PA||PB|=|t1t2|=$\frac{1}{4}$．
点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程的方法、直线参数方程的应用、圆的方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
教材全解字词句篇系列答案
如图，已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为椭圆的下顶点，直线MF1交椭圆与另一点N．