Question

7．设函数f（x）=px-$\frac{p}{x}$-2lnx．
（Ⅰ）若p=1，函数y=f（x）是否有极值，若有，请求出极值，若没有，请说明理由．
（Ⅱ）若f（x）在其定义域内为单调函数，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把p=1代入确定出函数y=f（x）解析式，求出导函数，即可做出判断；
（Ⅱ）求出f（x）导函数f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$（px²-2x+p），以及定义域，设h（x）=px²-2x+p，要使y=f（x）在（0，+∞）单调，只需h（x）≥0或h（x）≤0恒成立，分p＜0，p=0，p＞0三种情况求出p的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）把p=1代入得：f（x）=x-$\frac{1}{x}$-2lnx，
∴f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=（$\frac{1}{x}$-1）²≥0，
∴函数y=f（x）没有极值；
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$（px²-2x+p），定义域为（0，+∞），
令h（x）=px²-2x+p，
要使y=f（x）在（0，+∞）单调，只需h（x）≥0或h（x）≤0恒成立，
当p=0时，h（x）=-2x，此时f′（x）＜0，函数y=f（x）在（0，+∞）单调递减；
当p＞0时，h（x）_min=h（$\frac{1}{p}$）≥0，即p-$\frac{1}{p}$≥0，
解得：p≥1；
当p＜0时，h（x）在（0，+∞）上单调递减，又h（0）=p＜0，满足题意，
综上，实数p的取值范围是p≥1或p≤0．

点评 此题考查了利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性，熟练掌握导函数的性质是解本题的关键．