Question

8．已知三棱锥V-ABC的底面ABC是边长为4的正三角形，侧棱长都相等，其外接球（三棱锥的每个顶点都在球面上）的球心为O，满足$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{VO}$，则球O的体积为8$\sqrt{6}$π．

Answer 1

分析 利用向量关系，得出∠AOB=∠VOC，从而△AOB≌△VOC，|VC|=|AB|=4，三棱锥V-ABC是棱长为4的正四面体，再利用勾股定理求出R，即可求出球O的体积．

解答 解：如图，设球O的半径为R，则|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=|$\overrightarrow{VO}$|=R．
由$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{VO}$，可得$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{VO}$-$\overrightarrow{OC}$，
∴cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞=cos＜$\overrightarrow{OV}$，$\overrightarrow{OC}$＞，
∴∠AOB=∠VOC，从而△AOB≌△VOC，
∴|VC|=|AB|=4，
∴三棱锥V-ABC是棱长为4的正四面体，
设V在△ABC中的射影为H，则|BH|=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，|VH|=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
Rt△OHB中，R²=（$\frac{4}{\sqrt{3}}$）²+（R-$\frac{4\sqrt{6}}{3}$）²，∴R=$\sqrt{6}$，
∴V=8$\sqrt{6}$π．
故答案为：8$\sqrt{6}$π．

点评 本题考查球的体积，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确利用向量关系是关键．