Question

4．康杰中学高三数学学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，在全市高三年级学生中随机抽取100名同学的上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有16人，语文成绩优秀但外语不优秀的有14人，外语成绩优秀但语文不优秀的有10人．
（1）根据以上信息，完成下面2×2列联表：

	语文优秀	语文不优秀	总计
外语优秀	16	10
外语不优秀	14
总计

（2）能否判定在犯错误概率不超过0.001的前提下认为全市高三年级学生的“语文成绩与外语成绩有关系”？
（3）将上述调查所得到的频率视为概率，从全市高三年级学生成绩中，随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3名学生成绩中语文、外语两科成绩至少有一科优秀的个数为X，求X的分布列和期望E（X）．

p（K2≥k0）	0.010	0.005	0.001
k0	6.635	7.879	10.828

附：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
其中：n=a+b+c+d．

Answer 1

分析 （1）由题意填写列联表即可；
（2）计算观测值，对照临界值即可得出结论；
（3）根据题意知随机变量X～B（3，$\frac{2}{5}$），
计算对应的概率，写出X的分布列，求出数学期望值．

解答 解：（1）由题意得列联表：

	语文优秀	语文不优秀	总计
外语优秀	16	10	26
外语不优秀	14	60	74
总计	30	70	100

…（3分）
（2）因为${K^2}=\frac{{100×（16×60-10×14{）^2}}}{26×74×30×70}≈16.642＞10.828$，
所以能在犯错概率不超过0.001的前提下，
认为全市高三年级学生“语文成绩与外语成绩有关系”；  …（7分）
（3）由已知数据，语文、外语两科成绩至少一科为优秀的概率是$\frac{2}{5}$，…（8分）
则X～B（3，$\frac{2}{5}$），$P（x=k）=C_3^k{（\frac{2}{5}）^k}{（\frac{3}{5}）^{3-k}}，k=0\;，\;1\;，\;2\;，\;3$；…（10分）
X的分布列为

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

…（11分）
数学期望为$E（X）=3×\frac{2}{5}=\frac{6}{5}$．…（12分）

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望问题，也考查了独立性检验问题，是中档题．