Question

5．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{2x-y≥0}\\{x+2y-5≤0}\\{y≥1}\end{array}\right.$，则z=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$大值为$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 画出可行域，求出$\frac{y}{x}$的范围，利用目标函数求解最大值即可．

解答 解：实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{2x-y≥0}\\{x+2y-5≤0}\\{y≥1}\end{array}\right.$的可行域如图：
，$z=\frac{{{x^2}+{y^2}}}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$，令$t=\frac{y}{x}$，作出可行域知$t=\frac{y}{x}$的取值范围[k_OB，k_OA]，易知：A（1，2），B（3，1）
可得$t∈[\frac{1}{3}，2]$，于是$z=\frac{{{x^2}+{y^2}}}{xy}=t+\frac{1}{t}$，
t∈（1，2]，函数是增函数，t∈（$\frac{1}{3}，1$）函数是减函数，t=$\frac{1}{3}$时，z取得最大值为$\frac{10}{3}$．
故答案为：$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数的几何意义，函数的最值是解题的关键．