Question

20．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，$|φ|＜\frac{π}{2}$）的零点构成一个公差为$\frac{π}{2}$的等差数列，$f（0）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则f（x）的一个单调递增区间是（　　）

• A． $（-\frac{5π}{12}，\frac{π}{12}）$
• B． $（-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}）$
• C． $（-\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}）$
• D． $（\frac{π}{12}，\frac{7π}{12}）$

Answer 1

分析 根据零点构成一个公差为$\frac{π}{2}$的等差数列，可得周期T=π，求出ω，利用$f（0）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求出φ，结合三角函数的图象及性质，可得单调性．

解答 解：由题意，零点构成一个公差为$\frac{π}{2}$的等差数列，
∴周期T=π，即$\frac{2π}{ω}=π$，
∴ω=2．
∴函数f（x）=sin（2x+φ）．
又$f（0）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则sinφ=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵$-\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$-\frac{π}{3}$．
故得函数f（x）=sin（2x$-\frac{π}{3}$）．
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x$-\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$-\frac{π}{12}+kπ≤x≤\frac{5π}{12}+kπ$，
当k=0时，可得一个单调递增区区为：$（-\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}）$．
故选：C．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，求出解析式是解决本题的关键．属于基础题．