Question

已知函数f（x）=sin

π

2

x，任取t∈R，记函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值为M_t，最小值为m_t，记h（t）=M_t-m_t．则关于函数h（t）有如下结论：
①函数h（t）为偶函数；
②函数h（t）的值域为[1-

2

2

，1]；
③函数h（t）的周期为2；
④函数h（t）的单调增区间为[2k+

1

2

，2k+

3

2

]，k∈Z．
其中正确的结论有

 

．（填上所有正确的结论序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,函数的值域,函数的单调性及单调区间,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：可先求出函数f（x）的最小正周期为4，由周期性得到h（t+4）=M_t-m_t=h（t），说明h（t）是周期为4的函数，然后探索-2≤t≤2的函数f（x）的最值，以及h（t）的解析式，最后画出它的部分图象，通过图象观察分析得到性质，从而判断正确的结论．

解答： 解：∵f（x）=sin

πx

2

的最小正周期为

2π

π 2

=4，
∴M_t+4=M_t，m_t+4=m_t，
∴h（t+4）=M_t+4-m_t+4=M_t-m_t=h（t），
即h（t）是周期为4的函数，
∴对该函数的性质研究，只须探索t∈[-2，2]的性质即可．
画出函数f（x）=sin

πx

2

的部分图象，如右图，
当-2≤t＜-1.5，时，f（x）在区间[t，t+1]上的最小值为-1，最大值为f（t）=sin

πt

2

，∴h（t）=1+sin

πt

2

；
当-1.5≤t＜-1时，f（x）在区间[t，t+1]上的最小值为-1，最大值为f（t+1）=sin

πt+π

2

=cos

πt

2

，∴h（t）=1+cos

πt

2

；
当-1≤t＜0时，f（x）在区间[t，t+1]上的最小值为f（t）=sin

πt

2

，最大值为f（t+1）=sin

πt+π

2

=cos

πt

2

，∴h（t）=cos

πt

2

-sin

πt

2

；
当0≤t＜

1

2

时，f（x）在区间[t，t+1]上的最小值为sin

πt

2

，最大值为1，∴h（t）=1-sin

πt

2

；
当

1

2

≤t＜1时，f（x）在区间[t，t+1]上的最小值f（t+1）=sin

πt+π

2

=cos

πt

2

，最大值为1，∴h（t）=1-cos

πt

2

；
当1≤t＜2时，f（x）在区间[t，t+1]上的最小值为f（t+1）=sin

πt+π

2

=cos

πt

2

，最大值为f（t）=sin

πt

2

，∴h（t）=sin

πt

2

-cos

πt

2

．
画出h（t）的部分图象，如右图，
综上可知，该函数没有奇偶性，
函数的值域为[1-

2

2

，

2

]，函数的最小正周期为2，
函数的单调增区间为[2k+

1

2

，2k+

3

2

]，k∈Z，
故①②错，③④正确．
故答案为：③④．

点评：本题主要考查函数的周期性以及应用，根据周期性探索一个周期的情况，分别讨论每一个区间的情况：求出最值，写出函数式，最后通过图象得到有关性质，同时考查函数的最值和单调性、奇偶性，是一道难题．