Question

已知函数f（x）=2x-e^2x+2，函数g（x）=ln（mx+1）+

1-x

1+x

，其中x≥0，m＞0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）对于任意的x≥0，若恒有g（x）≥f（x）成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数单调性的判断与证明,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求出函数的导函数，分析导函数在定义域上各个区间上的符号，进而可得函数f（x）的单调区间；
（2）对于任意的x≥0，若恒有g（x）≥f（x）成立，则由f（x）最大值为1可得：g（x）≥1对于任意的x≥0恒成立，分m≥2时和0＜m＜2时，两种情况讨论，最后综合讨论结果可得答案．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=2x-e^2x+2，
∴f′（x）=2-2e^2x，
在（-∞，0）上，f′（x）＞0，故函数的增区间为（-∞，0）．
在（0，∞）上，f′（x）＜0，故函数的减区间为（0，+∞）．
（2）由（1）得，当x=0时，f（x）=2x-e^2x+2取最大值1，
若对于任意的x≥0，恒有g（x）≥f（x）成立，
则g（x）≥1对于任意的x≥0恒成立，
∵g′（x）=

m

mx+1

+

-2

(1+x)2

=

mx2+m-2

(mx+1)(1+x)2

，
∵x≥0，m＞0．
∴mx+1＞0，
①当m≥2时，在区间（0，+∞）上，g′（x）＞0，
∴g（x）的单调递增区间为（0，+∞），则当x=0时，g（x）取最小值1，满足条件；
②当0＜m＜2时，令g′（x）＞0，解得：x＞

2-m m

，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜

2-m m

，
故当x=

2-m m

时，函数取最小值，此时f（

2-m m

）＜f（0）=1，不满足条件，
综上所述：m的取值范围为[2，+∞）

点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，函数单调性的判断与证明，函数恒成立问题，是函数与导数的综合应用，难度较大．