Question

20．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的上顶点为（0，2），且离心率为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）从椭圆C上一点M向圆x²+y²=1上引两条切线，切点分别为A、B，当直线AB分别与x轴、y轴交于P、Q两点时，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆上顶点为（0，2），且离心率为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，列出方程组，求出a=6，b=3，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设切点为（x₀，y₀），求出切线方程为${x}_{0}x+{y}_{0}y={r}^{2}$，设点M（x_M，y_M），MA，MB是圆x²+y²=1的切线，求出切点弦AB的方程为x_Mx+y_My=1，由此能求出|PQ|的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的上顶点为（0，2），且离心率为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=6，b=2，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（Ⅱ）设切点为（x₀，y₀），
当切线斜率存在时，设切线方程为y-y₀=k（x-x₀），
∵k=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$，∴切线方程为y-y₀=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$（x-x₀），∴${x}_{0}x+{y}_{0}y={r}^{2}$，
当k不存在时，切点坐标为（±r，0），对应切线方程为x=±r，
符合${x}_{0}x+{y}_{0}y={r}^{2}$，
综上知切线方程为${x}_{0}x+{y}_{0}y={r}^{2}$，
设点M（x_M，y_M），MA，MB是圆x²+y²=1的切线，切点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
过点A的圆的切线为x₁x+y₁y=1，
过点B的圆的切线为x₂x+y₂y=1，
∵两切线都过M点，∴x₁x_M+y₁y_M=1，x₂x_M+y₂y_M=1，
∴切点弦AB的方程为x_Mx+y_My=1，
由题意知x_My_M≠0，
∴P（$\frac{1}{{x}_{M}}$，0），Q（0，$\frac{1}{{y}_{M}}$），
∴|PQ|²=$\frac{1}{{{x}_{M}}^{2}}+\frac{1}{{{y}_{M}}^{2}}$=（$\frac{1}{{{x}_{M}}^{2}}+\frac{1}{{{y}_{M}}^{2}}$）（$\frac{{{{x}_{M}}^{2}}_{\;}}{36}$+$\frac{{{y}_{M}}^{2}}{4}$）
=$\frac{1}{36}+\frac{1}{4}+\frac{1}{36}•\frac{{{x}_{M}}^{2}}{{{y}_{M}}^{2}}+\frac{1}{4}•\frac{{{y}_{M}}^{2}}{{{x}_{M}}^{2}}$
≥$\frac{1}{36}+\frac{1}{4}+2\sqrt{\frac{1}{144}•\frac{{{x}_{M}}^{2}}{{{y}_{M}}^{2}}•\frac{{{y}_{M}}^{2}}{{{x}_{M}}^{2}}}$=$\frac{4}{9}$，
当且仅当${{x}_{M}}^{2}=9，{{y}_{M}}^{2}=3$时，取等号，
∴|PQ|≥$\frac{2}{3}$，∴|PQ|的最小值为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查两点间距离的最小值的求法，涉及到椭圆、直线方程、切线方程、两点间距离公式、基本不等式等知识点，是中档题．