Question

3．如图，由部分抛物线y²=mx+1（m＞0，x≥0）和半圆x²+y²=r²（x≤0）所组成的曲线称为“黄金抛物线C”，若“黄金抛物线C”经过点（3，2）和（-$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
（1）求“黄金抛物线C”的方程；
（2）设P（0，1）和Q（0，-1），过点P作直线l与“黄金抛物线C”相交于A，P，B三点，问是否存在这样的直线l，使得QP平分∠AQB？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1））（3，2）代入抛物线y²=mx+1，可得4=3m+1，m=1，（-$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入x²+y²=r²，可得r=1，即可求“黄金抛物线C”的方程；
（2）假设存在这样的直线l，使得QP平分∠AQB，则k_AQ=-k_BQ，求出A，B的坐标，即可得出结论．

解答 解：（1）（3，2）代入抛物线y²=mx+1，可得4=3m+1，∴m=1，
（-$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入x²+y²=r²，可得r=1．
∴“黄金抛物线C”的方程为抛物线y²=x+1（x≥0）和半圆x²+y²=1（x≤0）；
（2）假设存在这样的直线l，使得QP平分∠AQB，则k_AQ=-k_BQ，
设直线AB的方程为y=kx+1，与x²+y²=1联立，可得A（-$\frac{2k}{1+{k}^{2}}$，$\frac{1-{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$），
y=kx+1，与y²=x+1联立，可得B（$\frac{1-2k}{{k}^{2}}$，$\frac{1-k}{k}$），
∴$\frac{\frac{1-{k}^{2}}{1+{k}^{2}}+1}{-\frac{2k}{1+{k}^{2}}}$=-$\frac{\frac{1-k}{k}+1}{\frac{1-2k}{{k}^{2}}}$，
∴k=-1±$\sqrt{2}$，
∴直线AB的方程为y=（-1±$\sqrt{2}$）x+1．

点评 本题考查抛物线与圆的方程，考查直线与曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．