Question

15．已知△ABC中，∠C=$\frac{π}{2}$，∠B=$\frac{π}{6}$，AC=2，M是AB的中点，沿直线CM将CBM折起，若AB=$\sqrt{10}$，设二面角B-CM-A的平面角为α，则α的大小为（　　）

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 考查图形，作出平面图形，然后找出二面角的平面角，通过三角形的解法求解二面角的平面角．

解答 解：△ABC中，∠C=$\frac{π}{2}$，∠B=$\frac{π}{6}$，AC=2，M是AB的中点，三角形ACM是正三角形，取CM的中点为：O．连结AO并延长角CB于D，
可知AO⊥CM，OD⊥CM，
则AC=AM=CM=MB=2，CO=OM=1，CB=$2\sqrt{3}$．
AO=$\sqrt{3}$，CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OD=$\frac{1}{2}$，
沿直线CM将CBM折起，若AB=$\sqrt{10}$，在折叠后的图形中，cos∠ACB=$\frac{{AC}^{2}+{CB}^{2}-{AB}^{2}}{2AC•CB}$=$\frac{4+12-10}{2×2×2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
AD=$\sqrt{{AC}^{2}+{CD}^{2}-2AC•CDcos∠ACB}$=$\sqrt{4+\frac{3}{4}-\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
AD²=AO²+OD²，
∵AO⊥CM，OD⊥CM，
∴∠AOD就是二面角B-CM-A的平面角，可知α=90°．
故选：D．

点评 本题考查二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及转化思想的应用，考查计算能力．