Question

17．（1）在等差数列{a_n}中，已知a₁=20，前n项和为S_n，且S₁₀=S₁₅，求当n取何值时，S_n取得最大值，并求出它的最大值；
（2）在公差为d的等差数列{a_n}中，已知a₁=10，且a₁，2a₂+2，5a₃成等比数列．
①求d，a_n．
②若d＜0，求|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
（2）①由a₁，2a₂+2，5a₃成等比数列，可得$（2{a}_{2}+2）^{2}$=a₁（5a₃），代入解得d=4或-1．即可得出a_n．
②d＜0，a_n=11-n．S_n=$\frac{n（21-n）}{2}$．设T_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|．当n≤11时，a_n≥0．T_n=S_n．当n≥12时，a_n＜0．T_n=a₁+a₂+…+a₁₁-a₁₂-…-a_n=2S₁₁-S_n．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₁=20，S₁₀=S₁₅，∴10×20+$\frac{10×9}{2}$d=15×20+$\frac{15×14}{2}$d，解得d=-$\frac{5}{3}$．
∴${a}_{n}=20-\frac{5}{3}（n-1）$=-$\frac{5}{3}$n+$\frac{65}{3}$，令a_n≥0，解得n≤13，
∴当n=13或12时，S_n取得最大值，它的最大值=S₁₃=$\frac{13×（20+0）}{2}$=130．
（2）①∵a₁，2a₂+2，5a₃成等比数列，∴$（2{a}_{2}+2）^{2}$=a₁（5a₃），∴[2（10+d）+2]²=10×5（10+2d），解得d=4或-1．
当d=4时，a_n=10+4（n-1）=4n+6．
当d=-1时，a_n=10-（n-1）=11-n．
②d＜0，a_n=11-n．S_n=$\frac{n（11-n+10）}{2}$=$\frac{n（21-n）}{2}$．
设T_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|．
当n≤11时，a_n≥0．
∴T_n=a₁+a₂+…+a_n=S_n=$\frac{n（21-n）}{2}$．
当n≥12时，a_n＜0．
∴T_n=a₁+a₂+…+a₁₁-a₁₂-…-a_n
=2S₁₁-S_n=$2×\frac{11×（21-11）}{2}$-$\frac{n（21-n）}{2}$=55-$\frac{21}{2}n$+$\frac{1}{2}{n}^{2}$．
综上可得：T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n（21-n）}{2}，n≤11}\\{\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{21}{2}n+55，n≥12}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、含绝对值数列求和问题，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．