Question

12．在平面直角坐标系xOy中，若曲线$y={a^2}{x^2}-\frac{b^2}{x}$（a，b为常数） 过点P（1，y₀），且该曲线在点P处的切线与直线2x-y+3=0平行，则$\frac{{8{b^2}+{a^2}}}{{{a^2}{b^2}}}$取得最小值时y₀值为$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 将P的坐标代入曲线方程，求出函数的导数，求得切线的斜率，运用两直线平行的条件：斜率相等，可得2a²+b²=2，再由乘1法和基本不等式可得最小值，求出取得等号的条件，即可得到所求值．

解答 解：由题意可得y₀=a²-b²，
函数$y={a^2}{x^2}-\frac{b^2}{x}$的导数为y′=2a²x+$\frac{{b}^{2}}{{x}^{2}}$，
由题意可得在P处的切线的斜率为2a²+b²=2，
则$\frac{{8{b^2}+{a^2}}}{{{a^2}{b^2}}}$=$\frac{1}{2}$（2a²+b²）（$\frac{8}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$）=$\frac{1}{2}$（17+$\frac{8{b}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{2{a}^{2}}{{b}^{2}}$）
≥$\frac{1}{2}$（17+2$\sqrt{\frac{8{b}^{2}}{{a}^{2}}•\frac{2{a}^{2}}{{b}^{2}}}$）=$\frac{25}{2}$，
当且仅当$\frac{8{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2{a}^{2}}{{b}^{2}}$，即有a²=$\frac{4}{5}$，b²=$\frac{2}{5}$时，取得最小值，
则y₀=$\frac{2}{5}$．
故答案为：$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，同时考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．