Question

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ac=$\frac{1}{4}$b²，sin A+sin C=t sin B，且B为锐角，则实数t 的取值范围是（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 先利用余弦定理求得a，b和c的关系，把题设等式代入表示出p²，进而利用cosB的范围确定p²的范围，进而确定pd 范围．

解答 解：在△ABC中，由于ac=$\frac{1}{4}$b²，sin A+sin C=tsinB，
可得：a+c=tb，
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-2accosB=t²b²-$\frac{1}{2}$b²cosB-$\frac{1}{2}$b²，
即t²=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$cosB，
因为0＜cosB＜1，
所以t²∈（$\frac{3}{2}$，2），由题设知t∈R，所以$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜t＜$\sqrt{2}$或-$\sqrt{2}$＜t＜-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
又由sinA+sinC=tsinB知，t是正数，
故$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜t＜$\sqrt{2}$即为所求．
故答案为：（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\sqrt{2}$）．

点评 本题主要考查了解三角形问题．学生能对正弦定理和余弦定理的公式及变形公式熟练应用，属于中档题．