Question

12．函数f（x）=log_a（3-ax）（a＞0，a≠1）
（1）当a=3时，求函数f（x）的定义域；
（2）若g（x）=f（x）-log_a（3+ax），请判定g（x）的奇偶性；
（3）是否存在实数a，使函数f（x）在[2，3]递增，并且最大值为1，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的性质求出函数的定义域即可；（2）根据奇函数的定义证明即可；（3）令u=3-ax，求出u=3-ax在[2，3]上的单调性，根据f（x）的最大值，求出a的值即可．

解答 解：（1）由题意：f（x）=log₃（3-3x），
∴3-3x＞0，即x＜1，…（2分）
所以函数f（x）的定义域为（-∞，1）．…（3分）
（2）易知g（x）=log_a（3-ax）-log_a（3+ax），
∵3-ax＞0，且3+ax＞0，
∴$-\frac{3}{a}＜x＜\frac{3}{a}$，关于原点对称，…（4分）
又∵g（x）=log_a（3-ax）-log_a（3+ax）=${log_a}\frac{3-ax}{3+ax}$，
∴g（-x）=${log_a}\frac{3+ax}{3-ax}$=-${log_a}\frac{3-ax}{3+ax}$=-g（x），…（5分）
∴g（x）为奇函数．…（6分）
（3）令u=3-ax，∵a＞0，a≠1，
∴u=3-ax在[2，3]上单调递减，…（7分）
又∵函数f（x）在[2，3]递增，∴0＜a＜1，…（8分）
又∵函数f（x）在[2，3]的最大值为1，
∴f（3）=1，…（9分）
即f（3）=log_a（3-3a）=1，
∴$a=\frac{3}{4}$．…（10分）

点评 本题考查了函数的定义域问题，考查函数的奇偶性，单调性、最值问题，是一道中档题．