Question

7．给出下列四个命题：
①函数y=|x|与函数y=（$\sqrt{x}$）²表示同一个函数；
②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；
③若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4]；
④设函数f（x）是在区间[a，b]上图象连续的函数，且f（a）•f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间[a，b]上至少有一实根；
其中正确命题的序号是④（填上所有正确命题的序号）

Answer 1

分析 ①两函数的定义域不同，不是同一函数，①错误；②举反例如函数y=$\frac{1}{x}$，②错误；③求函数f（2x）的定义域可判断③错误；④由根的存在性定理可判断错误．

解答 解：①函数y=|x|的定义域为R，函数y=（$\sqrt{x}$）²定义域为[0，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数，①错误
②函数y=$\frac{1}{x}$为奇函数，但其图象不过坐标原点，②错误
③∵函数f（x）的定义域为[0，2]，要使函数f（2x）有意义，需0≤2x≤2，即x∈[0，1]，故函数f（2x）的定义域为[0，1]，错误；
④函数f（x）是在区间[a．b]上图象连续的函数，f（a）•f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间[a，b]上至少有一实根，④正确．
故答案为④．

点评 本题综合考查了函数的概念，函数的三要素，函数的奇偶性及其图象，函数图象的平移变换，抽象函数的定义域求法，根的存在性定理．