题目内容
15．对于?n∈N*，若数列{xn}满足xn+1-xn＞1，则称这个数列为“K数列”．（Ⅰ）已知数列：1，m+1，m2是“K数列”，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）是否存在首项为-1的等差数列{an}为“K数列”，且其前n项和Sn满足${S_n}＜\frac{1}{2}{n^2}-n（n∈{N^*}）$？若存在，求出{an}的通项公式；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）已知各项均为正整数的等比数列{an}是“K数列”，数列$\left\{{\frac{1}{2}{a_n}}\right\}$不是“K数列”，若${b_n}=\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}$，试判断数列{bn}是否为“K数列”，并说明理由．
分析 （Ⅰ）由题意得（m+1）-1＞1，m2-（m+1）＞1，联立解出即可得出．
（Ⅱ）假设存在等差数列{an}符合要求，设公差为d，则d＞1，由题意，得$-n+\frac{n（n-1）}{2}d＜\frac{1}{2}{n^2}-n$对n∈N*均成立，化为（n-1）d＜n．对n分类讨论解出即可得出．
（Ⅲ）设数列{an}的公比为q，则${a_n}={a_1}{q^{n-1}}$，由题意可得：{an}的每一项均为正整数，且an+1-an=anq-an=an（q-1）＞1＞0，可得a1＞0，且q＞1．由an+1-an=q（an-an-1）＞an-an-1，可得在{an-an-1}中，“a2-a1”为最小项．同理，在$\{\frac{1}{2}{a_n}-\frac{1}{2}{a_{n-1}}\}$中，“$\frac{1}{2}{a_2}-\frac{1}{2}{a_1}$”为最小项．再利用“K数列”，可得a1=1，q=3或a1=2，q=2．进而得出．
解答 解：（Ⅰ）由题意得（m+1）-1＞1，①m2-（m+1）＞1，②
解①得 m＞1；
解②得 m＜-1或m＞2．
所以m＞2，故实数m的取值范围是m＞2．
（Ⅱ）假设存在等差数列{an}符合要求，设公差为d，则d＞1，
由 a1=-1，得 ${S_n}=-n+\frac{n（n-1）}{2}d$，．
由题意，得$-n+\frac{n（n-1）}{2}d＜\frac{1}{2}{n^2}-n$对n∈N*均成立，
即（n-1）d＜n．
①当n=1时，d∈R；
②当n＞1时，$d＜\frac{n}{n-1}$，
因为$\frac{n}{n-1}=1+\frac{1}{n-1}＞1$，
所以d≤1，与d＞1矛盾，
故这样的等差数列{an}不存在．
（Ⅲ）设数列{an}的公比为q，则${a_n}={a_1}{q^{n-1}}$，
因为{an}的每一项均为正整数，且an+1-an=anq-an=an（q-1）＞1＞0，
所以a1＞0，且q＞1．
因为an+1-an=q（an-an-1）＞an-an-1，
所以在{an-an-1}中，“a2-a1”为最小项．
同理，在$\{\frac{1}{2}{a_n}-\frac{1}{2}{a_{n-1}}\}$中，“$\frac{1}{2}{a_2}-\frac{1}{2}{a_1}$”为最小项．
由{an}为“K数列”，只需a2-a1＞1，即 a1（q-1）＞1，
又因为$\{\frac{1}{2}{a_n}\}$不是“K数列”，且“$\frac{1}{2}{a_2}-\frac{1}{2}{a_1}$”为最小项，所以$\frac{1}{2}{a_2}-\frac{1}{2}{a_1}≤1$，即 a1（q-1）≤2，
由数列{an}的每一项均为正整数，可得 a1（q-1）=2，
所以a1=1，q=3或a1=2，q=2．
①当a1=1，q=3时，${a_n}={3^{n-1}}$，则${b_n}=\frac{3^n}{n+1}$，
令${c_n}={b_{n+1}}-{b_n}（n∈{N^*}）$，则${c_n}=\frac{{{3^{n+1}}}}{n+2}-\frac{3^n}{n+1}={3^n}•\frac{2n+1}{（n+1）（n+2）}$，
又${3^{n+1}}•\frac{2n+3}{（n+2）（n+3）}-{3^n}•\frac{2n+1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{3^n}{n+2}•\frac{{4{n^2}+8n+6}}{（n+1）（n+3）}＞0$，
所以{cn}为递增数列，即 cn＞cn-1＞cn-2＞…＞c1，
所以bn+1-bn＞bn-bn-1＞bn-1-bn-2＞…＞b2-b1．
因为${b_2}-{b_1}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}＞1$，
所以对任意的n∈N*，都有bn+1-bn＞1，
即数列{cn}为“K数列”．
②当a1=2，q=2时，${a_n}={2^n}$，则${b_n}=\frac{{{2^{n+1}}}}{n+1}$．因为${b_2}-{b_1}=\frac{2}{3}≤1$，
所以数列{bn}不是“K数列”．
综上：当${a_n}={3^{n-1}}$时，数列{bn}为“K数列”，
当${a_n}={2^n}$时，数列{bn}不是“K数列”．
点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AC=2，AD=2$\sqrt{2}$，点E是线段AB上靠近B点的三等分点，点F、G分别在线段PD、PC上．| A． | 充分而不必要条件 | B． | 必要而不充分条件 | ||
| C． | 充分必要条件 | D． | 既不充分也不必要条件 |
| A． | $\frac{π}{15}$ | B． | $\frac{π}{12}$ | C． | $\frac{π}{16}$ | D． | $\frac{π}{18}$ |