对于?n∈N*.若数列{xn}满足xn+1-xn＞1.则称这个数列为“K数列．(Ⅰ)已知数列:1.m+1.m2是“K数列 .求实数m的取值范围,(Ⅱ)是否存在首项为-1的等差数列{an}为“K数列 .且其前n项和Sn满足${S n}＜\frac{1}{2}{n^2}-n$?若存在.求出{an}的通项公式,若不存在.请说明理由,(Ⅲ)已知各项均为正整数的等比数列{an}是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．对于?n∈N^*，若数列{x_n}满足x_n+1-x_n＞1，则称这个数列为“K数列”．
（Ⅰ）已知数列：1，m+1，m²是“K数列”，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）是否存在首项为-1的等差数列{a_n}为“K数列”，且其前n项和S_n满足${S_n}＜\frac{1}{2}{n^2}-n（n∈{N^*}）$？若存在，求出{a_n}的通项公式；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）已知各项均为正整数的等比数列{a_n}是“K数列”，数列$\left\{{\frac{1}{2}{a_n}}\right\}$不是“K数列”，若${b_n}=\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}$，试判断数列{b_n}是否为“K数列”，并说明理由．

分析（Ⅰ）由题意得（m+1）-1＞1，m²-（m+1）＞1，联立解出即可得出．
（Ⅱ）假设存在等差数列{a_n}符合要求，设公差为d，则d＞1，由题意，得$-n+\frac{n（n-1）}{2}d＜\frac{1}{2}{n^2}-n$对n∈N^*均成立，化为（n-1）d＜n．对n分类讨论解出即可得出．
（Ⅲ）设数列{a_n}的公比为q，则${a_n}={a_1}{q^{n-1}}$，由题意可得：{a_n}的每一项均为正整数，且a_n+1-a_n=a_nq-a_n=a_n（q-1）＞1＞0，可得a₁＞0，且q＞1．由a_n+1-a_n=q（a_n-a_n-1）＞a_n-a_n-1，可得在{a_n-a_n-1}中，“a₂-a₁”为最小项．同理，在$\{\frac{1}{2}{a_n}-\frac{1}{2}{a_{n-1}}\}$中，“$\frac{1}{2}{a_2}-\frac{1}{2}{a_1}$”为最小项．再利用“K数列”，可得a₁=1，q=3或a₁=2，q=2．进而得出．

解答解：（Ⅰ）由题意得（m+1）-1＞1，①m²-（m+1）＞1，②
解①得 m＞1；
解②得 m＜-1或m＞2．
所以m＞2，故实数m的取值范围是m＞2．
（Ⅱ）假设存在等差数列{a_n}符合要求，设公差为d，则d＞1，
由 a₁=-1，得 ${S_n}=-n+\frac{n（n-1）}{2}d$，．
由题意，得$-n+\frac{n（n-1）}{2}d＜\frac{1}{2}{n^2}-n$对n∈N^*均成立，
即（n-1）d＜n．
①当n=1时，d∈R；
②当n＞1时，$d＜\frac{n}{n-1}$，
因为$\frac{n}{n-1}=1+\frac{1}{n-1}＞1$，
所以d≤1，与d＞1矛盾，
故这样的等差数列{a_n}不存在．
（Ⅲ）设数列{a_n}的公比为q，则${a_n}={a_1}{q^{n-1}}$，
因为{a_n}的每一项均为正整数，且a_n+1-a_n=a_nq-a_n=a_n（q-1）＞1＞0，
所以a₁＞0，且q＞1．
因为a_n+1-a_n=q（a_n-a_n-1）＞a_n-a_n-1，
所以在{a_n-a_n-1}中，“a₂-a₁”为最小项．
同理，在$\{\frac{1}{2}{a_n}-\frac{1}{2}{a_{n-1}}\}$中，“$\frac{1}{2}{a_2}-\frac{1}{2}{a_1}$”为最小项．
由{a_n}为“K数列”，只需a₂-a₁＞1，即 a₁（q-1）＞1，
又因为$\{\frac{1}{2}{a_n}\}$不是“K数列”，且“$\frac{1}{2}{a_2}-\frac{1}{2}{a_1}$”为最小项，所以$\frac{1}{2}{a_2}-\frac{1}{2}{a_1}≤1$，即 a₁（q-1）≤2，
由数列{a_n}的每一项均为正整数，可得 a₁（q-1）=2，
所以a₁=1，q=3或a₁=2，q=2．
①当a₁=1，q=3时，${a_n}={3^{n-1}}$，则${b_n}=\frac{3^n}{n+1}$，
令${c_n}={b_{n+1}}-{b_n}（n∈{N^*}）$，则${c_n}=\frac{{{3^{n+1}}}}{n+2}-\frac{3^n}{n+1}={3^n}•\frac{2n+1}{（n+1）（n+2）}$，
又${3^{n+1}}•\frac{2n+3}{（n+2）（n+3）}-{3^n}•\frac{2n+1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{3^n}{n+2}•\frac{{4{n^2}+8n+6}}{（n+1）（n+3）}＞0$，
所以{c_n}为递增数列，即 c_n＞c_n-1＞c_n-2＞…＞c₁，
所以b_n+1-b_n＞b_n-b_n-1＞b_n-1-b_n-2＞…＞b₂-b₁．
因为${b_2}-{b_1}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}＞1$，
所以对任意的n∈N^*，都有b_n+1-b_n＞1，
即数列{c_n}为“K数列”．
②当a₁=2，q=2时，${a_n}={2^n}$，则${b_n}=\frac{{{2^{n+1}}}}{n+1}$．因为${b_2}-{b_1}=\frac{2}{3}≤1$，
所以数列{b_n}不是“K数列”．
综上：当${a_n}={3^{n-1}}$时，数列{b_n}为“K数列”，
当${a_n}={2^n}$时，数列{b_n}不是“K数列”．