Question

10．已知函数f（x）=e^x-e^-x，下列命题正确的有①②④．（写出所有正确命题的编号）
①f（x）是奇函数；
②f（x）在R上是单调递增函数；
③方程f（x）=x²+2x有且仅有1个实数根；
④如果对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞kx，那么k的最大值为2．

Answer 1

分析 根据题意，依次分析4个命题，对于①、由奇函数的定义分析可得①正确；对于②、对函数f（x）=e^x-e^-x求导，分析可得f′（x）＞0，分析可得②正确；对于③、g（x）=e^x-e^-x-x²-2x，分析可得g（0）=0，即方程f（x）=x²+2x有一根x=0，进而利用二分法分析可得g（x）有一根在（3，4）之间，即方程f（x）=x²+2x至少有2跟，故③错误，对于④、由函数的恒成立问题的分析方法，分析可得④正确，综合可得答案．

解答 解：根据题意，依次分析4个命题：
对于①、f（x）=e^x-e^-x，定义域是R，且f（-x）=e^-x-e^x=-f（x），f（x）是奇函数；故①正确；
对于②、若f（x）=e^x-e^-x，则f′（x）=e^x+e^-x＞0，故f（x）在R递增；故②正确；
对于③、f（x）=x²+2x，令g（x）=e^x-e^-x-x²-2x，
令x=0可得，g（0）=0，即方程f（x）=x²+2x有一根x=0，
g（3）=e³-$\frac{1}{{e}^{3}}$-13＜0，g（4）=e⁴-$\frac{1}{{e}^{4}}$-20＞0，
则方程f（x）=x²+2x有一根在（3，4）之间，
故③错误；
对于④、如果对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞kx，即e^x-e^-x-kx＞0恒成立，
令h（x）=e^x-e^-x-kx，且h（0）=0，
若h（x）＞0恒成立，则必有h′（x）=e^x+e^-x-k＞0恒成立，
若e^x+e^-x-k＞0，即k＜e^x+e^-x=e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$恒成立，
而e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$≥2，若有k＜2，
故④正确；
综合可得：①②④正确；
故答案为：①②④．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性的判定，以及方程的根与恒成立问题的综合应用，③关键是利用二分法．