Question

4．已知数列{a_n}的前9项和为153，且点P（a_n，a_n+1）（n∈N₊）在直线x-y+3=0上
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）从数列{a_n}中，依次去除第2项、第8项、第24项…第n•2ⁿ项，按原来的顺序组成一个新的数列{b_n}，求数列{b_n}的前n项和S_n
（Ⅲ）求证：$\frac{1}{{b}_{1}}+\frac{1}{{b}_{2}}+$…+$\frac{1}{{b}_{n}}$＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （I）点P（a_n，a_n+1）（n∈N₊）在直线x-y+3=0上，可得a_n+1-a_n=3．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
（II）b_n=3•n•2ⁿ+2，S_n=3（1×2+2×2²+…+n•2ⁿ）+2n，再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
（III）b_n=3•n•2ⁿ+2，由于3•n•2ⁿ+2-4•2ⁿ=（3n-4）•2ⁿ+2（n≥1），可得$\frac{1}{{b}_{n}}$≤$\frac{1}{4×{2}^{n}}$，当且仅当n=1时取等号．利用等比数列的求和公式即可的．

解答 （I）解：∵点P（a_n，a_n+1）（n∈N₊）在直线x-y+3=0上，∴a_n-a_n+1+3=0．即a_n+1-a_n=3．
∴数列{a_n}是等差数列，公差为3．
∴9a₁+$\frac{9×8}{2}$×3=153，解得a₁=5．
∴a_n=5+3（n-1）=3n+2．
（II）解：b_n=3•n•2ⁿ+2，S_n=3（1×2+2×2²+…+n•2ⁿ）+2n，
设T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
∴S_n=3（n-1）•2ⁿ⁺¹+6+2n．
（III）证明：b_n=3•n•2ⁿ+2，
3•n•2ⁿ+2-4•2ⁿ=（3n-4）•2ⁿ+2（n≥1），
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$≤$\frac{1}{4×{2}^{n}}$，当且仅当n=1时取等号．
∴$\frac{1}{{b}_{1}}+\frac{1}{{b}_{2}}+$…+$\frac{1}{{b}_{n}}$≤$\frac{\frac{1}{8}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{4}-\frac{1}{4×{2}^{n}}$＜$\frac{1}{4}$．
∴$\frac{1}{{b}_{1}}+\frac{1}{{b}_{2}}+$…+$\frac{1}{{b}_{n}}$＜$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、放缩方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．