Question

6．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1，0≤x＜\frac{1}{2}\\-1，\frac{1}{2}≤x＜1\\ 0，\;x＜0或x≥1\end{array}\right.$和$g（x）=\left\{\begin{array}{l}1，0≤x＜1\\ 0，x＜0或x≥1\end{array}\right.$
则g（2x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，0≤x＜\frac{1}{2}}\\{0，x＜0或x≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
若m，n∈Z，且m•g（n•x）-g（x）=f（x），则m+n=4．

Answer 1

分析 依次令0≤2x＜1，2x＜0或2x≥1得出g（2x）的分段区间，再得出g（2x）；令x=0，可求出m，求出f（x）+g（x）的解析式，根据2g（nx）=f（x）+g（x）得出关于n的不等式组，求出n即可得出m+n的值．

解答 解：令0≤2x＜1得0≤x＜$\frac{1}{2}$，
令2x＜0或2x≥1得x＜0或x$≥\frac{1}{2}$，
∴g（2x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，0≤x＜\frac{1}{2}}\\{0，x＜0或x≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
令x=0得，mg（0）-g（0）=f（0），即m-1=1，
∴m=2，
∴2g（nx）=f（x）+g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2，0≤x＜\frac{1}{2}}\\{0，x＜0或x≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{2}≤1}\\{\frac{n}{2}≥1}\end{array}\right.$，∴n=2．
∴m+n=4．
故答案为g（2x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，0≤x＜\frac{1}{2}}\\{0，x＜0或x≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；4．

点评 本题考查了分段函数的意义，函数值的计算，属于中档题．