Question

已知椭圆方程

x2

4

+

y2

2

=1及椭圆上一点P（x₀，y₀），P关于y=2x的对称点（x₁，y₁），求3x₁-4y₁的取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据题意和点关于直线对称的条件列出方程，求出x₁和y₁的表达式，代入式子化简后，由椭圆的范围求出式子的范围．

解答： 解：因为P关于y=2x的对称点（x₁，y₁），
所以

y0+y1 2 =2× x0+x1 2 y0-y1 x0-x1 ×2=-1

，解得

x1=- 3 5 x0+ 4 5 y0 y1= 4 5 x0+ 3 5 y0

，
则3x₁-4y₁=3（-

3

5

x0+

4

5

y0）-4（

4

5

x0+

3

5

y0）=-5x₀，
因为P（x₀，y₀）是椭圆

x2

4

+

y2

2

=1上一点，所以-2≤x₀≤2．
则-10≤-5x₀≤10，
所以3x₁-4y₁的取值范围是[-10，10]．

点评：本题考查了椭圆的方程与性质，点关系直线对称的问题，运算需要仔细认真，考查化简计算能力．