Question

已知定义域为R的函数f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函数．
（1）求a，b的值；       
（2）判断f（x）的单调性，并用定义给出证明．
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）直接结合函数f（x）为奇函数，f（0）=0，f（1）=-f（-1）求解a，b的值；
（2）用函数单调性的定义证明；
（3）结合（1）和（2），转化成f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），从而得到t²-2t＞k-2t²．然后求解k的取值范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）为奇函数，
∴f（0）=0，f（1）=-f（-1）
得 b=1，a=2．
（2）f（x）为减函数，证明如下：
由（1）知，f（x）=

-2x+1

2x+1+2

任设x₁，x₂?R，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

1-2x1

2x1+1+2

-

1-2x2

2x2+1+2

=

4(2x2-2x1)

(2x1+1+2)(2x2+1+2)

，
∵x₁＜x₂，
∴2x2-2x1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）为减函数．
（3）由（1）知f（x）=

-2x+1

2x+1+2

，
又f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．
又因f（x）是奇函数，
从而不等式：f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0
等价于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
因f（x）为减函数，由上式推得：
t²-2t＞k-2t²．
即对一切t∈R有：3t²-2t-k＞0，
从而判别式△=4+12k＜0⇒k＜-

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3

点评：本题重点考查了函数的奇偶性和单调性等知识，属于中档题．