Question

先解答（1），再通过结构类比解答（2）：
（1）求证：tan（x+

π

4

）=

1+tanx

1-tanx

；
（2）设x∈R，a为非零常数，且f（x+a）=

1+f(x)

1-f(x)

，试问：f（x）是周期函数吗？证明你的结论．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数,类比推理

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）直接利用两角和的正切函数化简求解即可．
（2）猜想是周期函数，利用周期函数的定义证明即可．

解答： 解：（1）证明：tan(x+

π

4

)=

tanx+tan π 4

1-tanx•tan π 4

=

1+tanx

1-tanx

．      …（6分）
（2）猜想f（x）是以4a为周期的周期函数．
证明：因为f(x+2a)=f[(x+a)+a]=

1+f(x+a)

1-f(x+a)

=

1+ 1+f(x) 1-f(x)

1- 1+f(x) 1-f(x)

=-

1

f(x)

，
所以f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]=-

1

f(x+2a)

=f(x)，
所以f（x）是以4a为周期的周期函数．                        …（14分）

点评：本题考查三角函数的化简求值，周期的应用，基本知识的考查．