Question

13．如图，已知平面α∩平面β=l，α⊥β，A，B是直线l上的两点，C，D是平面β内的两点，且DA⊥l，CB⊥l，DA=4，AB=6，CB=8，P是平面α内的一动点，使得直线CP，DP与平面α所成角相等，则三角形PAB面积的最大值为12．

Answer 1

分析 由面面垂直的性质可得AD⊥PA，BC⊥PB，由∠APD=∠BPC可知PB=2PA，作PM⊥AB，垂足为M，结合三角形的面积公式转化为一元二次函数进行求解即可．

解答 解：由题意平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA?β，CB?β，且DA⊥α，CB⊥α，
∴△PAD与△PBC是直角三角形，又∠APD=∠BPC，
∴△PAD∽△PBC，又AD=4，BC=8，
∴PB=2PA
作PM⊥AB，垂足为M，令AM=t∈R，
在两个Rt△PAM与Rt△PBM中，PM是公共边及PB=2PA
∴PA²-t²=4PA²-（6-t）²
解得PA²=12-4t
∴PM=$\sqrt{12-4t-{t}^{2}}$
∴S=$\frac{1}{2}$×AB×PM=$\frac{1}{2}$×6×$\sqrt{12-4t-{t}^{2}}$=3$\sqrt{12-4t-{t}^{2}}$
=3$\sqrt{16-{（t+2）}^{2}}$≤12．
即三角形面积的最大值为12．
故答案为：12

点评 本题考查与二面角有关的立体几何综合题，根据线面角的定义结合三角形的面积公式，设出变量，转化为函数问题是解决本题的关键．