Question

3．已知函数f（x）=lnx-2x³与g（x）=2x³-ax，若f（x）的图象上存在点A满足它关于y轴的对称点B落在g（x）的图象上，则实数a的取值范围是a≤$\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 由题意可知f（x）=g（-x）有解，即y=lnx与y=ax有交点，根据导数的几何意义，求出切点，结合图象，可知a的范围．

解答 解：∵函数f（x）=lnx-2x3与g（x）=2x3-ax，
若f（x）的图象上存在点A满足它关于y轴的对称点B落在g（x）的图象上，
∴f（x）=g（-x）有解，
∴lnx-2x³=-2x³+ax，
∴lnx=ax在（0，+∞）有解，
分别设y=lnx，y=ax，
若y=ax为y=lnx的切线，
∴y′=$\frac{1}{x}$，
设切点为（x₀，y₀），
∴a=$\frac{1}{{x}_{0}}$，ax₀=lnx₀，
∴x₀=e，
∴a=$\frac{1}{e}$，
结合图象可知，a≤$\frac{1}{e}$
故答案为：a≤$\frac{1}{e}$

点评 本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点的切线方程，以及函数值的问题，关键是转化为y=lnx与y=ax有交点，属于中档题．