Question

1．已知函数f（x）=e^x+m-lnx．
（I） 设x=1是函数f（x）的极值点，求证：e^x-elnx≥e；
（II） 设x=x₀是函数f（x）的极值点，且f（x）≥0恒成立，求m的取值范围．（其中常数a满足alna=1）．

Answer 1

分析 （I） 求导数，利用x=1是函数f（x）的极值点，求出m，确定f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，f（x）≥f（1）=1，即可证明：e^x-elnx≥e；
（II）证明f（x）在（0，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增，f（x）在x=x₀处取得最小值，可得f（x）≥f（x₀）=${e}^{{x}_{0}+m}$-lnx₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$+x₀+m，利用f（x）≥0恒成立，得出$\frac{1}{{x}_{0}}$+x₀+m≥0，进而得出x₀≤a，即可求m的取值范围．

解答 （I） 证明：∵f（x）=e^x+m-lnx，
∴f′（x）=e^x+m-$\frac{1}{x}$
∵x=1是函数f（x）的极值点，
∴f′（x）=e^1+m-1=0，
∴m=-1，
∴f′（x）=e^x-1-$\frac{1}{x}$，
0＜x＜1，f′（x）＜0，x＞1，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴f（x）≥f（1）=1，
∴e^x-1-lnx≥1，
∴e^x-elnx≥e；
（II）解：f′（x）=e^x+m-$\frac{1}{x}$，设g（x）=e^x+m-$\frac{1}{x}$，则g′（x）=e^x+m+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴f′（x）在（0，+∞）上单调递增，
∵x=x₀是函数f（x）的极值点，
∴x=x₀是f′（x）=0在（0，+∞）上的唯一零点，
∴${e}^{{x}_{0}+m}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
∴x₀+m=-lnx₀，
∵0＜x＜x₀，f′（x）＜f′（x₀）=0，x＞x₀，f′（x）＞f′（x₀）=0，
∴f（x）在（0，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增，f（x）在x=x₀处取得最小值，
∴f（x）≥f（x₀）=${e}^{{x}_{0}+m}$-lnx₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$+x₀+m，
∵f（x）≥0恒成立，
∴$\frac{1}{{x}_{0}}$+x₀+m≥0，
∴$\frac{1}{{x}_{0}}$+x₀≥x₀+lnx₀，
∴$\frac{1}{{x}_{0}}$≥lnx₀，
∵alna=1，
∴x₀≤a，
∴m=-x₀-lnx₀≥-a-lna．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与极值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，难度大．