Question

2．过抛物线y=ax²（a＞$\frac{1}{12}$）的焦点F作圆C：x²+y²-8y+15=0的一条切线，切点为 M，若|FM|=2$\sqrt{2}$．
（1）求实数a的值；
（2）直线l经过点F，且与抛物线交于点 A、B，若以 A B为直径的圆与圆C相切，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设焦点F（0，m），圆C：x²+（y-4）²=1，在△F MC中，由|FC|²=|F M|²+|MC|²得${（{4-m}）^2}={（{2\sqrt{2}}）^2}+{1^2}$，求出m，即可求实数a的值；
（2）根据对称性，结合以AB为直径的圆与圆C相切，求直线l的方程．

解答 解：（1）设焦点F（0，m），圆C：x²+（y-4）²=1，在△F MC中，
由|FC|²=|F M|²+|MC|²得${（{4-m}）^2}={（{2\sqrt{2}}）^2}+{1^2}$，
即4-m=±3，又m＜3，解得m=1，即$a=\frac{1}{4}$．（5分）
（2）由（1）知x²=4y，圆C：x²+（y-4）²=1．
设直线l：y=kx+1．
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}=4y\end{array}\right.$得x²-4kx-4=0．
设 A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4
所以$|{{A}{B}}|={y_1}+{y_2}+2=k（{{x_1}+{x_2}}）+4=4{k^2}+4$，A B中点Q（2k，2k²+1），
①若以A B为直径的圆与圆C内切，则$\sqrt{4{k^2}+{{（{2{k^2}+1-4}）}^2}}=2{k^2}+2-1$，
解得${k^2}=\frac{2}{3}$．直线l：$y=\frac{{\sqrt{6}}}{3}x+1$或$y=-\frac{{\sqrt{6}}}{3}x+1$．（10分）
②若以A B为直径的圆与圆C外切，则$\sqrt{4{k^2}+{{（{2{k^2}+1-4}）}^2}}=2{k^2}+2+1$，解得k=0．
所以直线l：y=1．
所以直线l：$y=\frac{{\sqrt{6}}}{3}x+1$或$y=-\frac{{\sqrt{6}}}{3}x+1$或y=1（12分）

点评 本题考查抛物线方程，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．