Question

4．已知直线l：x+y=1在矩阵$A=[\begin{array}{l}m，n\\ 0，1\end{array}]$对应的变换作用下变为直线l'：x-y=1，求矩阵A．

Answer 1

分析 设直线l：x+y=1上任意一点M（x，y）在矩阵A的变换作用下，变换为点M′（x′，y′），根据矩阵A列出关系式，得到x与x′，y与y′的关系式，再由M′（x′，y′）在直线l'上，求出m与n的值，即可确定出矩阵A．

解答 解：设直线l：x+y=1上任意一点M（x，y）在矩阵A的变换作用下，变换为点M′（x′，y′），
由[$\underset{\stackrel{x′}{\;}}{y′}$]=[$\underset{\stackrel{m}{\;}}{0}$ $\underset{\stackrel{n}{\;}}{1}$][$\underset{\stackrel{x}{\;}}{y}$]=[$\underset{\stackrel{mx+ny}{\;}}{y}$]，得$\left\{\begin{array}{l}{x′=mx+ny}\\{y′=y}\end{array}\right.$，
又点M′（x′，y′）在l′：x-y=1上，
∴x′-y′=1，即（mx+ny）-y=1，
依题意$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n-1=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=2}\end{array}\right.$，
则矩阵A=[$\underset{\stackrel{1}{\;}}{0}$ $\underset{\stackrel{2}{\;}}{1}$]．

点评 此题考查了几种特殊的矩形变换，找出M在矩阵A的变换作用下点M′两点的坐标关系是解本题的关键．