Question

13．已知函数f（x）=x²+2xtanθ-1，x∈[-1，$\sqrt{3}$]，其中θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）
（1）当θ=-$\frac{π}{6}$时，求函数的最大值和最小值；
（2）求θ的取值范围，使y=f（x）在区间[-1，$\sqrt{3}$]上是单调函数（在指定区间为增函数或减函数称为该区间上的单调函数）．

Answer 1

分析 （1）求出函数的解析式，根据二次函数的性质求出函数的最大值和最小值即可；
（2）根据二次函数的性质得到函数f（x）的单调性，求出tanθ的范围，求出θ的范围即可．

解答 解：（1）当θ=-$\frac{π}{6}$时，
f（x）=x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-1=（x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²-$\frac{4}{3}$．
∵x∈[-1，$\sqrt{3}$]，
∴当x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，f（x）的最小值为-$\frac{4}{3}$，
当x=-1时，f（x）的最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（2）f（x）=（x+tanθ）²-1-tan²θ是关于x的二次函数，
它的图象的对称轴为x=-tanθ，
∵y=f（x）在区间[-1，$\sqrt{3}$]上是单调函数，
∴-tanθ≤-1，或-tanθ≥$\sqrt{3}$，即tanθ≥1，或tanθ≤-$\sqrt{3}$．
∵θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴θ的取值范围是[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）∪（-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{3}$]．

点评 本题考查了二次函数的性质以及三角函数的性质，是一道中档题．