Question

18．已知x，y满足条件$\left\{\begin{array}{l}1≤x+y≤3\\-1≤x-y≤1\end{array}\right.$
（1）求2x-y的最小值；
（2）求x²+y²的最小值；
（3）求$\frac{y+1}{x+1}$的取值范围．

Answer 1

分析 画出约束条件的可行域，（1）判断目标函数的最优解求解即可．（2）利用目标函数的几何意义求解即可．（3）利用目标函数几何意义斜率故选求解即可．

解答 解：x，y满足条件$\left\{\begin{array}{l}1≤x+y≤3\\-1≤x-y≤1\end{array}\right.$的可行域如图：
（1）平行直线z=2x-y，当直线经过可行域的A时，
z取得的最小值；-1．
（2）x²+y²的最小值，就是可行域的P与坐标原点的连线的距离的平方，转化为原点与x+y=1的距离的平方，$（{\frac{1}{\sqrt{2}}）}^{2}$=$\frac{1}{2}$；
（3）$\frac{y+1}{x+1}$的几何意义是可行域内的点与（-1，-1）连线的斜率，显然DB的斜率最小，DA的斜率最大，
k_DB=$\frac{0+1}{1+1}$=$\frac{1}{2}$，k_DA=$\frac{1+1}{0+1}$=2，
$\frac{y+1}{x+1}$的取值范围：$[{\frac{1}{2}，2}]$．

点评 本题考查线性规划的简单应用，判断最优解以及目标函数的几何意义是解题的关键．考查数形结合思想的应用．