Question

有编号为1，2，3，…，n的n名学生，入坐编号为1，2，3，…，n的n个座位，规定每个学生可随机坐一个座位，记学生所坐的座位编号与该生的编号不同的学生数为X，若当X=2时，共有6种坐法．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求2号学生未坐2号座位且4号学生入坐4号座位的概率；
（Ⅲ）求随机变量X的数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：应用题,概率与统计

分析：（Ⅰ）根据X=2时，共有6种坐法，写出关于n的表示式，解出未知量，把不合题意的舍去．
（Ⅱ）利用古典概型概率公式求解；
（Ⅲ）X的可能取值是0，2，3，4，理解变量对应的事件，求出相应的概率，可求随机变量X的数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）∵当X=2时，有C_n²种坐法，
∴C_n²=6，
即

n(n-1)

2

=6，
∴n²-n-12=0，
∴n=4或n=-3（舍去），
∴n=4． …（3分）
（Ⅱ）记“2号学生未坐2号座位且4号学生入坐4号座位”为事件A．
4名学生随机入座4个座位共有

A

4 4

=24种等可能性结果，而事件A包含其中

C

1 2

A

2 2

=4种结果，
故P（A）=

4

24

=

1

6

  …（7分）
（Ⅲ）X的所有可能取值为：0，2，3，4，
当变量是0时表示学生所坐的座位号与该生的编号都相同，
当变量是2时表示学生所坐的座位号与该生的编号有2个相同，
当变量是3时表示学生所坐的座位号与该生的编号有1个相同，
当变量是4时表示学生所坐的座位号与该生的编号有0个相同，
则P（X=0）=

1

24

，P（X=2）=

C 2 4 ×1

A 4 4

=

6

24

，P（X=3）=

C 3 4 ×2

A 4 4

=

8

24

，P（X=4）=

9

24

故EX=0×

1

24

+2×

6

24

+3×

8

24

+4×

9

24

=3．  …（12分）

点评：本题考查运用概率知识解决实际问题的能力，考查了离散型随机变量的分布列和期望，解题时要认真审题，仔细解答，注意概率计算公式的合理运用．属中档题．