Question

用数学归纳法证明，对任意x＞0及正整数n，有xⁿ+x^n-2+…+

1

xn-2

+

1

xn

≥n+1．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：证明题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：验证n=1，2时，结论成立；假设当n=k时，不等式成立，证明n=k+2时，不等式成立即可．

解答： 证明：1°当n=1时，x＞0，原不等式左边=x+

1

x

≥2，右边=2，
所以左边≥右边，原不等式成立；
当n=2时，x＞0，原不等式左边=x²+1+

1

x2

≥2+1，右边=3，
所以左边≥右边，原不等式成立；
2°假设当n=k时，不等式成立，即x^k+x^k-2+…+

1

xk-2

+

1

xk

≥k+1，
则当n=k+2时，左边=x^k+2+x^k+…+

1

xk-2

+

1

xk

+

1

xk+2

≥k+1+（x^k+2+

1

xk+2

）≥k+1+2=（k+2）+1，
∴n=k+2时，原不等式成立；
由1°、2°，可得对任意x＞0及正整数n，有xⁿ+x^n-2+…+

1

xn-2

+

1

xn

≥n+1．

点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．