题目内容

已知0＜α＜
π
2
，tan
α
2
+
1
tan
α
2
=
5
2
，试求sin(α-
π
3
)的值．
考点：两角和与差的正弦函数,同角三角函数间的基本关系
专题：三角函数的求值
分析：依题意，利用半角公式可化简得tan
α
2
+
1
tan
α
2
=
2
sinα
=
5
2
，于是得到sinα=
4
5
，又0＜α＜
π
2
，可求得cosα=
1-sin2α
=
3
5
，再利用两角差的正弦即可求得sin(α-
π
3
)的值．
解答： 解：∵tan
α
2
+
1
tan
α
2
=
1-cosα
sinα
+
1+cosα
sinα
=
2
sinα
=
5
2
，
∴sinα=
4
5
，
又0＜α＜
π
2
，
∴cosα=
1-sin2α
=
3
5
，
∴sin(α-
π
3
)=sinαcos
π
3
-cosαsin
π
3
=
4
5
×
1
2
-
3
5
×
3
2
=
4-3
3
10
．
点评：本题考查正切的半角公式的应用，考查同角三角函数间的基本关系及两角差的正弦，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-π＜φ＜0）图象的相邻的对称中心之间距离为
π
2
，且图象关于（
π
8
，0）对称．
（1）求ω、φ的值；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）求f（x）在[0，
π
2
]上的最值．
用数学归纳法证明，对任意x＞0及正整数n，有xn+xn-2+…+
1
xn-2
+
1
xn
≥n+1．
关于函数f（x）=sin（x-
π
12
）sin（x+
5π
12
），有下列命题：
①此函数可以化为f（x）=-
1
2
sin（2x+
5π
6
）；
②函数f（x）的最小正周期是π，其图象的一个对称中心是（
π
12
，0）；
③函数f（x）的最小值为-
1
2
，其图象的一条对称轴是x=
π
3
；
④函数f（x）的图象向右平移
π
6
个单位后得到的函数是偶函数；
⑤函数f（x）在区间（-
π
3
，0）上是减函数．
其中所有正确的命题的序号个数是（　　）
A、2B、3C、4D、5
在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P（1，0，5），Q（1，3，4），则线段PQ的长度为
 
．
已知点P（sinα+cosα，tanα）在第四象限，则角α的取值范围是
 
．
某程序框图如图所示，该程序运行后输出的x值是（　　）
A、3B、4C、6D、8
函数f（x）=
x2+1，x≥0
-x2，x＜0
的单调递增区间为（　　）
A、（-∞，0），[0，+∞）
B、（-∞，0）
C、[0，+∞）
D、（-∞，+∞）
设函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，-
π
2
＜φ＜
π
2
）的图象关于直线x=
2π
3
对称，它的周期是π，则（　　）
A、f（x）的图象过点（0，
1
2
），
B、f（x）的一个对称中心是（
5π
12
，0）
C、f（x）在[
π
12
，
2π
3
]上是减函数
D、将f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sinωx的图象

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