Question

2．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤π），在一个周期内的图象如图．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若g（x）的图象是将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{24}$个单位得到的，求g（x）的解析式；
（3）若h（x）=$\frac{\sqrt{2}}{4}$a•g（x）+$\frac{a}{2}$+b，当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，h（x）的值域是[3，4]，求实数a，b的值．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式．
（3）利用正弦函数的定义域和值域，分类讨论a的符号，从而求得实数a，b的值．

解答 解：（1）根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤π），在一个周期内的图象，
可得A=2，$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{12}$，∴ω=2，再根据五点法作图可得2•$\frac{π}{12}$+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）若g（x）的图象是将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{24}$个单位得到的，
∴g（x）=f（x-$\frac{π}{24}$）=2sin[2（x-$\frac{π}{24}$）+$\frac{π}{3}$]=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）．
（3）∵h（x）=$\frac{\sqrt{2}}{4}$a•g（x）+$\frac{a}{2}$+b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$asin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{a}{2}$+b，当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
若a＞0，则当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$时，h（x）取得最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}a$•（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）+$\frac{a}{2}$+b=3；
当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$时，h（x）取得最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}a$+$\frac{a}{2}$+b=4，求得a=2$\sqrt{2}$-2，b=3．
若a＜0，则当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$时，h（x）取得最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}a$•（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）+$\frac{a}{2}$+b=4；
当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$时，h（x）取得最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}a$+$\frac{a}{2}$+b=3，求得a=-2$\sqrt{2}$-2，b=4．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．