Question

10．已知函数f（x）=sinx+2cos²$\frac{x}{2}$-1，g（x）=$\sqrt{2}$sin2x，则下列结论正确的是（　　）

• A． 把函数f（x）图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移$\frac{π}{4}$个单位长度，可得到函数g（x）的图象
• B． 两个函数的图象均关于直线x-=-$\frac{π}{4}$对称
• C． 两个函数在区间（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$）上都是单调递增函数
• D． 函数y=g（x）在[0，2π]上只有4个零点

Answer 1

分析 利用二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性、零点，以及图象的对称性，得出结论．

解答 解：函数f（x）=sinx+2cos²$\frac{x}{2}$-1=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），g（x）=$\sqrt{2}$sin2x，
故把函数f（x）图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），可得y=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）的图象，
再向右平移$\frac{π}{4}$个单位长度，可得到函数y=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），故A不正确；
当x=-$\frac{π}{4}$时，f（x）=$\sqrt{2}$sin0=0，不是函数的最值，故B错误；
在区间（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$）上，x+$\frac{π}{4}$∈（0，$\frac{π}{2}$），2x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），f（x）和g（x）在区间（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$）上都是单调递增函数，故C正确；
在[0，2π]上，令g（x）=$\sqrt{2}$sin2x=0，求得x=0，$\frac{π}{2}$，π，$\frac{3π}{2}$π，2π，故函数y=g（x）在[0，2π]上共计有5个零点，故D错误，
故选：C．

点评 本题主要考查二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性、零点，以及图象的对称性，属于基础题．