如图.由直三棱柱ABC-A1B1C1和四棱锥D-BB1C1C构成的几何体中.∠BAC=90°.AB=1.BC=BB1=2.C1D=CD=$\sqrt{5}$.平面CC1D⊥平面ACC1A1．(Ⅰ)求证:AC⊥DC1,(Ⅱ)若M为DC1的中点.求证:AM∥平面DBB1,(Ⅲ)在线段BC上是否存在点P.使直线DP与平面BB1D所成的角为$\frac{π}{3}$?若存在.求$\frac{BP}{BC}$� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．

如图，由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁和四棱锥D-BB₁C₁C构成的几何体中，∠BAC=90°，AB=1，BC=BB₁=2，C₁D=CD=$\sqrt{5}$，平面CC₁D⊥平面ACC₁A₁．
（Ⅰ）求证：AC⊥DC₁；
（Ⅱ）若M为DC₁的中点，求证：AM∥平面DBB₁；
（Ⅲ）在线段BC上是否存在点P，使直线DP与平面BB₁D所成的角为$\frac{π}{3}$？若存在，求$\frac{BP}{BC}$的值，若不存在，说明理由．

分析（Ⅰ）证明AC⊥CC₁，得到AC⊥平面CC₁D，即可证明AC⊥DC₁．
（Ⅱ）易得∠BAC=90°，建立空间直角坐标系A-xyz，
依据已知条件可得A（0，0，0），$C（0，\sqrt{3}，0）$，${C_1}（2，\sqrt{3}，0）$，B（0，0，1），B₁（2，0，1），$D（1，\sqrt{3}，2）$，
利用向量求得AM与平面DBB₁所成角为0，即AM∥平面DBB₁．
（Ⅲ）利用向量求解

解答解：（Ⅰ）证明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，故AC⊥CC₁，
由平面CC₁D⊥平面ACC₁A₁，且平面CC₁D∩平面ACC₁A₁=CC₁，
所以AC⊥平面CC₁D，
又C₁D?平面CC₁D，所以AC⊥DC₁．
（Ⅱ）证明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，
所以AA₁⊥AB，AA₁⊥AC，
又∠BAC=90°，所以，如图建立空间直角坐标系A-xyz，
依据已知条件可得A（0，0，0），$C（0，\sqrt{3}，0）$，${C_1}（2，\sqrt{3}，0）$，B（0，0，1），B₁（2，0，1），$D（1，\sqrt{3}，2）$，
所以$\overrightarrow{B{B_1}}=（2，0，0）$，$\overrightarrow{BD}=（1，\sqrt{3}，1）$，
设平面DBB₁的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{B{B_1}}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{BD}=0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}2x=0\\ x+\sqrt{3}y+z=0\end{array}\right.$
令y=1，则$z=-\sqrt{3}$，x=0，于是$\overrightarrow n=（0，1，-\sqrt{3}）$，
因为M为DC₁中点，所以$M（\frac{3}{2}，\sqrt{3}，1）$，所以$\overrightarrow{AM}=（\frac{3}{2}，\sqrt{3}，1）$，
由$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow n=（\frac{3}{2}，\sqrt{3}，1）•（0，1，-\sqrt{3}）=0$，可得$\overrightarrow{AM}⊥\overrightarrow n$，
所以AM与平面DBB₁所成角为0，
即AM∥平面DBB₁．

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知平面BB₁D的法向量为$\overrightarrow n=（0，1，-\sqrt{3}）$．
设$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{BC}$，λ∈[0，1]，
则$P（0，\sqrt{3}λ，1-λ）$，$\overrightarrow{DP}=（-1，\sqrt{3}λ-\sqrt{3}，-1-λ）$．
若直线DP与平面DBB₁成角为$\frac{π}{3}$，则$|cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{DP}＞|=\frac{{|\overrightarrow n•\overrightarrow{DP}|}}{{|\overrightarrow n|•|\overrightarrow{DP}|}}=\frac{{|2\sqrt{3}λ|}}{{2\sqrt{4{λ^2}-4λ+5}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
解得$λ=\frac{5}{4}∉[{0，1}]$，
故不存在这样的点．