Question

3．已知过点P（2，2）的直线l和圆C：（x-1）²+y²=6交于A，B两点．
（Ⅰ）若点P恰好为线段AB的中点，求直线l的方程；
（Ⅱ）若$|{AB}|=2\sqrt{5}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若点P恰好为线段AB的中点，则l⊥CP，求出斜率，即可求直线l的方程；
（Ⅱ）若$|{AB}|=2\sqrt{5}$，分类讨论，即可求直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由已知l⊥CP，因为${k_{CP}}=\frac{2-0}{2-1}=2$，所以${k_l}=-\frac{1}{2}$，
故直线l的方程为x+2y-6=0…（6分）
（Ⅱ）设圆心C到直线l的距离为d，则d=1
当直线l的斜率不存在时，符合题意，此时直线的方程为x=2；…（8分）
当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为y-2=k（x-2），即kx-y+2-2k=0，
所以$d=\frac{|2-k|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1$，则$k=\frac{3}{4}$，此时直线的方程为3x-4y+2=0
综上，直线l的方程为x=2或3x-4y+2=0…（12分）

点评 本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系的运用，属于中档题．