Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=

x2+2，x∈[0，1) 2-x2，x∈[-1，0)

且f（x）=f（x-2），g（x）=

2x-3

x-2

，则方程f（x）=g（x）在区间[-1，5]上的所有实根之和为（　　）

• A、5
• B、6
• C、7
• D、8

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：∵方程f（x）=g（x）在区间[-1，5]上的根就是函数y=f（x）和y=g（x）的交点横坐标，画图观察即可．

解答： 解：∵f(x)=

x2+2，x∈[0，1) 2-x2，x∈[-1，0]

，
∴y=f（x）关于点（0，2）中心对称，将函数向右平移2个单位再向右平移2个单位，得到函数y=f（x）在[-1，5]上的图象，每段曲线不包含右端点（如下图），
去掉端点后关于（2，2）中心对称．
又∵g(x)=

2x-3

x-2

=2+

1

x-2

关于（2，2）中心对称，故方程f（x）=g（x）在区间[-1，5]上的根就是函数y=f（x）和y=g（x）的交点横坐标，共有三个交点，
自左向右横坐标分别为x₁，x₂，x₃，其中x₁和x₃关于（2，2）中心对称，
∴，x₁+x₃=4，x₂=1，
故x₁+x₂+x₃=5
故选：A．

点评：本题考查分段函数，函数平移，零点与方程根的关系，属于中档题