Question

已知命题P：函数f（x）为（0，+∞）上单调减函数，实数m满足不等式f（m+1）＜f（3-2m）．命题Q：当x∈[0，

π

2

]，函数m=sin²x-2sinx+1+a．若命题P是命题Q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：集合,简易逻辑

分析：先根据已知条件求出命题P，Q下的m的取值范围：m∈(

2

3

，

3

2

)，m∈[a，1+a]，根据命题P是Q的充分不必要条件得到(

2

3

，

3

2

)⊆[a，1+a]，从而求得a的取值范围．

解答： 解：命题P：根据已知条件得：

m+1＞0 3-2m＞0 m+1＞3-2m

，解得

2

3

＜m＜

3

2

，即m∈(

2

3

，

3

2

)；
命题Q：x∈[0，

π

2

]，∴sinx∈[0，1]，m=sin²x-2sinx+1+a=（sinx-1）²+a；
∴当sinx=1时，m取最小值a，当sinx=0时，m取最大值1+a，所以m∈[a，1+a]；
∵命题P是Q的充分不必要条件，所以(

2

3

，

3

2

)⊆[a，1+a]；
∴

a≤ 2 3 1+a≥ 3 2

，解得

1

2

≤a≤

2

3

；
∴a的取值范围为[

1

2

，

2

3

]．

点评：考查根据函数的单调性解不等式，配方法求二次函数的值域，子集的概念．