Question

已知函数f（x）=（ax²+bx+c）e^-x（a＜0）的图象过点（0，-2），且在该点的切线方程为4x-y-2=0．
（1）若f（x）在（2，+∞）上为单调增函数，求实数a的取值范围．
（2）讨论函数f（x）的极值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由f（0）=-2，可得c的值，求导函数，利用切线方程可得b=的值，根据f（x）在[2，+∞）上为单调增函数，可得（-ax-2）（x-2）e^-x≥0在[2，+∞）上恒成立，由此可求实数a的取值范围；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=（ax²+2x-2）e^-x，对其求导，令f′（x）=0得x=2，x=-

2

a

，讨论2与-

2

a

的大小，确定区间的单调性，从而求极值．

解答： 解：（Ⅰ）由f（0）=-2，可得c=-2，
求导函数可得f′（x）=（-ax²+2ax-bx+b-c）e^-x，
∴f′（0）=（b-c）e⁰=b-c，
∵切线方程为4x-y-2=0，∴b-c=4，∴b=2，
∴f（x）=（ax²+2x-2）e^-x，f′（x）=（-ax-2）（x-2）e^-x，
∵f（x）在（2，+∞）上为单调增函数，
∴（-ax-2）（x-2）e^-x≥0在（2，+∞）上恒成立
即-ax-2≥0，∴a≤-

2

x

，-

2

x

＞-1，∴a≤-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=（ax²+2x-2）e^-x，f′（x）=（-ax-2）（x-2）e^-x，
令f′（x）=0得x=2，x=-

2

a

，
①当0＞a＞-1时，2＜-

2

a

，f′（x）在（-∞，2）和（-

2

a

，+∞）大于0，在（2，-

2

a

）小于0，
∴f（x）在（-∞，2）和（-

2

a

，+∞）单调递增；在（2，-

2

a

）单调递减．
此时f（x）的极大值f（2）=（4a+2）e^-2，极小值为f（（-

2

a

）=-2e

2

a

；
②a≤-1时，2＞-

2

a

，f′（x）在（-∞，-

2

a

，）和（2，∞）大于0，在（-

2

a

，2）小于0，
∴f（x）在（-∞，-

2

a

，）和（2，+∞）单调递增；在（-

2

a

，2）单调递减．
此时f（x）的极小值f（2）=（4a+2）e^-2，极大值为f（（-

2

a

）=-2e

2

a

．

点评：本题考查了利用导数与单调性的关系求参数范围以及利用讨论的思想求函数的极值．