Question

正四面体ABCD棱长为a，求正四面体的各个面中心为顶点的多面体的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：计算题,作图题,空间位置关系与距离

分析：正四面体的各个面中心为顶点的多面体依然为正四面体，作出部分图形分析求解．

解答： 解：正四面体的各个面中心为顶点的多面体依然为正四面体；
如图线段GH为正四面体的一条棱，
则由三角形内的性质可知，

GH

EF

=

2

3

，

EF

BD

=

1

2

，
则

GH

BD

=

1

3

，
则GH=

1

3

BD=

1

3

a；
S=

1

2

•

1

3

•a•

1

3

a•sin60°=

3 a2

36

；
h=

( 1 3 a)2-( 2 3 • 3 2 • 1 3 a)2

=

6

9

a；
则V=

1

3

Sh=

1

3

•

3

36

a2

6

9

a=

2

324

a3．

点评：本题考查了学生的空间想象力，及正四面体的量的等价．