Question

已知f（x）×f（y）=f（xy），f（x）≠0．求证：f（x）×f（

1

x

）=1．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：证明题,函数的性质及应用

分析：首先令x=y=1，求得f（1）=1，再令y=

1

x

，问题即得证．

解答： 证明：∵f（x）×f（y）=f（xy），f（x）≠0
令x=y=1，
则f（1）×f（1）=f（1），f（1）≠0
故f（1）=1，
再令y=

1

x

，
则f（x）×f（

1

x

）=f（1）．
故等式成立．

点评：本题主要考查抽象函数及应用，解决抽象函数常用方法：赋值法，注意准确赋值是解题的关键，同时考查证明函数的单调性的方法：定义法，注意条件的反复运用．