Question

已知数列{a_n}共有9项，其中，a₁=a₉=1，且对每个i∈{1，2，…8}，均有

ai+1

ai

∈{2，1，-

1

2

}．
（1）记S=

a2

a1

+

a3

a2

+…+

a9

a8

，则S的最小值为

 

．
（2）数列{a_n}的个数为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：令bi=

ai+1

ai

(1≤i≤8)，则对每个符合条件的数列{a_n}，满足

8 π

i=1

b_i=

8 π

i=1

ai+1

ai

=

a9

a1

=1，且b_i∈{2，1，-

1

2

}，1≤i≤8．反之，由符合上述条件的八项数列{b_n}可唯一确定一个符合题设条件的九项数列{a_n}．由此能求出结果．

解答： 解：令bi=

ai+1

ai

(1≤i≤8)，则对每个符合条件的数列{a_n}，
满足

8 π

i=1

b_i=

8 π

i=1

ai+1

ai

=

a9

a1

=1，且b_i∈{2，1，-

1

2

}，1≤i≤8．
反之，由符合上述条件的八项数列{b_n}可唯一确定一个符合题设条件的九项数列{a_n}．
记符合条件的数列{b_n}的个数为N，
由题意知b_i（1≤i≤8）中有2k个-

1

2

，2k个2，8-4k个1，
且k的所有可能取值为0，1，2．
（1）对于三种情况，当k=2时，S取到最小值6．
（2）N=1+

C

2 8

C

2 6

+

C

4 8

C

4 4

=491．

点评：本题考查数列的相邻两项比值之和的最小值的求法，考查满足条件的数列的个数的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．